Клуб любителей пораскинуть мозгами

Окружность на листочке в клетку

Требуется нарисовать окружность на листе бумаги так, чтобы она проходила через максимальное число узлов клеток.
Например окружность с центром (2,2) и радиусом 1 проходит только через 4 такие точки: (1,2)(3,2) (2,1) (2,3).

Имеет ли такая задача конечное решение(да/нет – обосновать)?
Найти окружность, у которой это число наибольшее.
PS. Ответа не знаю. У меня пока что 12 максимум.

Ответы: 51 → “Окружность на листочке в клетку”

  1. Гипотенуза любого пифагорова треугольника даёт значение радиуса окружности, при котором будет 12 точек.
    a^2 + b^2 = c^2
    Точки:
    (0, +-c)
    (+-c, 0)
    (+-a, +-b)
    (+-b, +-a)

  2. Да, но вот 12 точек предел или нет?
    В общем виде нужно найти макс кол-во целых корней уравнения:
    (x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2. Проблема в том, что x0 и y0 не обязаны должны быть целыми…

  3. мыслим пятимерно =) координатное пространство OR x0 y0 x y. Ищем графики функций x(R,x0,y0) и y(R,x0,y0), узнаём, где они пересекаются при одинаковых наборах аргументов, всё отлично! Надеюсь, ничего не напутал :P

  4. можно поподробнее?

  5. сходу придумал, чтоб через 16. Думаю, что если размеры листа не ограничены, то можно сделать, чтоб проходил через более чем дохрена точек :)

  6. пример в студию)

  7. Короче вся задача сводится к нахождению всех натуральных решений
    a^2+b^2=c^2. Причем чтоб каждое из них нельзя было получить умножением a,b и c на N.(3^2+4^2=5^2 и6^2+8^2=10^2 по сути одно и то же).Насколько я знаю таких решений бесконечное множество. так вот R – это наименьшее общее кратное всех с.
    (Все что я тут написал касается только случая, когда центр окружности тоже в узле).
    Так что я считаю, что конечное решение может быть только на конечной площади. :))

  8. пример
    0^2+1^2=1^2
    3^2+4^2=5^2
    5^2+12^2=13^2
    r – наименьшее общее кратное из 1,5,13 = 65.
    Вот. Окружность с радиусом 65, центр которой в узле проходит минимум через 20 узлов.
    Понаходить еще решений – будет еще :))
    (Сорри что много буков :)) )

  9. 28^2+96^2=100^2и тд и тп. :))

  10. #8, "Насколько я знаю" – не аргумент. Надо хоть как то доказать, обосновать…
    Приводить центр в (0,0) не всегда можно. Вдруг будет супер пупер решение, у которого центр будет где нибудь в (2П*cos(1), 2П*sin(1))? Я конечно утрирую, но все же

  11. так я и говорю, что даже если условие, что можно только в центре и нет ограничений на радиус, то можно провести через бесконечное число точек.

  12. ну выпишите хотя бы эти 15 или сколько у вас там получилось? по моему все те же 12 получается

  13. для радиуса 1105 – 28 узлов.
    для 27625 – 36.
    Что выписать? координаты?
    ну для радиуса 65 – 20 узлов может и выпишу если надо. больше – нет уж :))

  14. Поподробнее…
    Трудно представить пятимерное пространство, но на определённом уровне абстракции это всё же возможно.
    Координатные оси: OR, Ox, Oy, Ox0, Oy0. Всё это переменные.
    Пусть имеется функция y(x,x0,y0,R) – она описывает множество окуржностей. Для каждого фиксированного набора (x0, y0, R) при переменном x получаем функцию
    y(x) = +- sqrt(R^2 – (x – x0)^2) + y0
    и, соответственно, график окружности. Затем по какому-то алгоритму надо найти число заветных точек.
    Достаточно рассматривать значения x0 [0; 1), y0[0; 1), R (0; ~)
    ~ – типа бесконечность :)

    Пример алгоритма: для каждой конкретной y(x) просмотреть все целые x и для каждого из них найти y(x)-[y(x)], где [y(x)] – целая часть значения функции.
    Таким образом, если найти зависимость числа целых точек от параметров окружности (x0, y0, R), то можно узнать наибольшее =) Но, боюсь, это не будет плавная красивая функция, а скорее всё будет жутко скакать

  15. Другой вариант – тоже не вижу способа реализации…

    Пускай окружность радиуса R лежит (для простоты) в начале координат O.

    Нетрудно убедиться, что при увеличении радиуса в целое количество раз C, окружность радиуса C * R будет проходить через узлы клеток в точках с теми же фазами, что и окружность радиуса R. (надеюсь, что ясно выразился :P)

    (Если не очевидно – поясню: для любой точки (x; y) с целыми x, y на окружности радиуса R, справедливо:
    точка (C*x; C*y) лежит на окружности радиуса C*R, где C – целое,
    и тоже имеет целые координаты)

    Тогда получим: если существует точка окружности, имеющая нецелые рациональные координаты

    (a / b;m / n), где a, b, m, n – целые,

    то увеличение радиуса окружности в C = b * n раз приведёт к появлению точки

    (a * n; m * b),

    которая имеет целые координаты, а следовательно, проходит через узел.

    Получаем (ввиду симметрии окружности) четыре новые точки, проходящие через узел, при этом не теряя ни одной старой.

    Вывод: пока есть хоть одна точка с рациональными координатами, можно наращивать радиус и увеличивать число захваченных узлов.

  16. последнее сообщение Андрея, как мне показалось, имеет много общего с тем, что я писал до этого. Только мне кажется, что в каждом таком случае мы найдем не 4 узла, а 8. Так как помимо симметрии относительно осей есть еще симметрия относительно их биссектрис. (то есть в каждом из квадрантов (x,y) и (y,x), если конечно x<>y)

  17. Олег Кожемякин, ваще доказательство понял. Со всем согласен в полной мере. На вики подробно описаны Пифагоровы числа.

    Т.о. можно нарисовать окружность с заранее заданным минимальным числом таких точек.

    На этом думаю все! Всем спасибо)

  18. obat kutil kelamin di cirebon

    we are only limited to inform we sell genital warts, condyloma akuminata

  19. Nama Penyakit Kutil Kelamin

    Kutil kelamin adalah salah satu penyakit menular yang terjadi karena penderita melakukan hubungan seksual yang salah melalui vaginal, anal atau oral dengan orang yang terinfeksi. Kutil kelamin disebabkan oleh Human Papillomavirus (HPV). Dan penelitian…

  20. … [Trackback]

    [...] Read More on|Read More|Read More Informations here|There you can find 67103 more Informations|Infos on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  21. … [Trackback]

    [...] Read More here|Read More|Read More Infos here|There you can find 57057 additional Infos|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  22. Lidah Buaya Obat Kutil Kelamin

    Hey there would you mind stating which blog platform you�re using? I�m going to start my own blog soon but I�m having a difficult time deciding between BlogEngine/Wordpress/B2evolution and Drupal. The reason I ask is because your layout seems different…

  23. Cara menghilangkan daging tumbuh di leher

    Hay kak, ride information, that we from the center of herbal medicine, which provides a kind of herbal medicine, please at endorse

  24. Obat Kutil Kelamin Yang Tersedia Di Apotik

    Hay kak, ride information, that we from the center of herbal medicine, which provides a kind of herbal medicine, please at endorse

  25. … [Trackback]

    [...] Read More on|Read More|Read More Informations here|Here you will find 72120 more Informations|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  26. Harga Obat Kutil De Nature

    Hay kak, ride information, that we from the center of herbal medicine, which provides a kind of herbal medicine, please at endorse

  27. … [Trackback]

    [...] Read More here|Read More|Read More Infos here|There you can find 66192 additional Infos|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  28. … [Trackback]

    [...] Find More here|Find More|Find More Infos here|There you will find 98595 more Infos|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  29. Obat Kutil Kelamin Cowok

    I am very happy to find this information, I hope to find more information, and add knowledge

  30. … [Trackback]

    [...] Read More here|Read More|Find More Infos here|There you will find 96914 more Infos|Infos on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  31. … [Trackback]

    [...] Find More on|Find More|Find More Informations here|Here you can find 44331 more Informations|Infos to that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  32. … [Trackback]

    [...] Read More on|Read More|Read More Informations here|There you can find 56707 additional Informations|Infos on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  33. … [Trackback]

    [...] Find More here|Find More|Find More Infos here|Here you will find 62934 more Infos|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  34. … [Trackback]

    [...] Read More here|Read More|Find More Infos here|There you can find 67835 more Infos|Infos on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  35. … [Trackback]

    [...] Read More on|Read More|Read More Infos here|Here you will find 90585 more Infos|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  36. … [Trackback]

    [...] Read More here|Read More|Read More Infos here|There you will find 30936 additional Infos|Infos to that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  37. Google

    We like to honor a lot of other online internet sites on the web, even though they aren’t linked to us, by linking to them. Below are some webpages really worth checking out.

  38. … [Trackback]

    [...] Find More here|Find More|Find More Infos here|There you can find 73355 additional Infos|Informations on that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  39. best inspection service

    [...]one of our visitors not too long ago encouraged the following website[...]

  40. hawaii property Inspection

    [...]check below, are some entirely unrelated internet sites to ours, nevertheless, they’re most trustworthy sources that we use[...]

  41. Rocks Off Bubbles Sensations Plug

    [...]always a large fan of linking to bloggers that I like but don’t get a whole lot of link really like from[...]

  42. Rabbit Vibrator

    [...]please visit the websites we follow, which includes this one particular, as it represents our picks from the web[...]

  43. Evolved Wild Orchid Vibrator

    [...]please take a look at the sites we adhere to, like this a single, as it represents our picks from the web[...]

  44. Classic Vibrator

    [...]Every after inside a although we select blogs that we read. Listed beneath are the latest web-sites that we pick out [...]

  45. Maxx Men 15 Inch Curved Double Dong

    [...]just beneath, are various totally not related web sites to ours, even so, they are certainly really worth going over[...]

  46. … [Trackback]

    [...] Read More here|Read More|Find More Infos here|Here you can find 38785 more Infos|Informations to that Topic: zagaza.ru/za697.htm [...]

  47. Anal Power Beads

    [...]just beneath, are quite a few completely not connected web pages to ours, nonetheless, they may be surely really worth going over[...]

  48. Best Wand Massager

    [...]that is the end of this post. Right here you will locate some internet sites that we feel you’ll appreciate, just click the hyperlinks over[...]

  49. how to use a vibrating cock ring

    [...]we like to honor several other world wide web internet sites on the web, even though they aren’t linked to us, by linking to them. Beneath are some webpages worth checking out[...]

  50. Magic Wand Massager Review

    [...]check below, are some absolutely unrelated internet sites to ours, on the other hand, they’re most trustworthy sources that we use[...]